Resolución ejercicio 6.18 subitem f de Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral de Análisis Matemático 66 UBA XXI Cátedra Cabana

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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI

CÁTEDRA CABANA

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6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.

F=\left\{y \geq \sqrt{x} ; y \leq -\frac{1}{2} x+4 ; x \geq 0\right\}

Respuesta

En este problema tenemos dos funciones involucradas

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = -\frac{1}{2}x + 4

Además nos imponen el límite de integración

x=0

1) Buscamos los puntos de intersección entre

f

g

\sqrt{x} = -\frac{1}{2}x + 4

Elevamos al cuadrado ambos miembros:

x = \left(-\frac{1}{2}x + 4\right)^2

x = \frac{1}{4}x^2 - 4x + 16

\frac{1}{4}x^2 - 5x + 16 = 0

Si resolvés esta ecuación cuadrática vas a llegar a las soluciones

x=4

x=16

Pero ojo! Como elevamos al cuadrado ambos miembros, nos apareció un

x

que no es solución de la ecuación original. Probá de reemplazar

x=4

x=16

\sqrt{x} = -\frac{1}{2}x + 4

y fijate qué pasa. La única solución es

x=4

y ese es el punto de intersección entre

f

g

2) Techo y piso

En el intervalo

(0,4)

, podés ver que

g

es techo y

f

es piso. Además, eso coincide con lo que nos dice el enunciado:

y \geq \sqrt{x}

\leq -\frac{1}{2} x+4

3) Planteamos la integral del área

A = \int_{0}^{4} g(x) - f(x) \, dx = \int_{0}^{4} (-\frac{1}{2}x + 4 - \sqrt{x}) \, dx

Calculamos la integral:

\int_{0}^{4} (-\frac{1}{2}x + 4 - \sqrt{x}) \, dx = \left(-\frac{1}{4}x^2 + 4x - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right) \Big|_{0}^{4} = \left(-\frac{1}{4}(4)^2 + 4(4) - \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}\right) - 0 = \frac{20}{3}

Por lo tanto, el área encerrada es

\frac{20}{3}

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