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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.18.
Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
f) $F=\left\{y \geq \sqrt{x} ; y \leq -\frac{1}{2} x+4 ; x \geq 0\right\}$
f) $F=\left\{y \geq \sqrt{x} ; y \leq -\frac{1}{2} x+4 ; x \geq 0\right\}$
Respuesta
En este problema tenemos dos funciones involucradas
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$f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = -\frac{1}{2}x + 4$
Además nos imponen el límite de integración $x=0$
1) Buscamos los puntos de intersección entre $f$ y $g$
$\sqrt{x} = -\frac{1}{2}x + 4$
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
$x = \left(-\frac{1}{2}x + 4\right)^2$
$x = \frac{1}{4}x^2 - 4x + 16$
$\frac{1}{4}x^2 - 5x + 16 = 0$
Si resolvés esta ecuación cuadrática vas a llegar a las soluciones $x=4$ y $x=16$
Pero ojo! Como elevamos al cuadrado ambos miembros, nos apareció un $x$ que no es solución de la ecuación original. Probá de reemplazar $x=4$ y $x=16$ en $\sqrt{x} = -\frac{1}{2}x + 4$ y fijate qué pasa. La única solución es $x=4$ y ese es el punto de intersección entre $f$ y $g$.
2) Techo y piso
En el intervalo $(0,4)$, podés ver que $g$ es techo y $f$ es piso. Además, eso coincide con lo que nos dice el enunciado: $y \geq \sqrt{x}$ y $\leq -\frac{1}{2} x+4$
3) Planteamos la integral del área
$A = \int_{0}^{4} g(x) - f(x) \, dx = \int_{0}^{4} (-\frac{1}{2}x + 4 - \sqrt{x}) \, dx$
Calculamos la integral:
$\int_{0}^{4} (-\frac{1}{2}x + 4 - \sqrt{x}) \, dx = \left(-\frac{1}{4}x^2 + 4x - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right) \Big|_{0}^{4} = \left(-\frac{1}{4}(4)^2 + 4(4) - \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}\right) - 0 = \frac{20}{3}$
Por lo tanto, el área encerrada es $\frac{20}{3}$.